Как измерить площадь фигуры неправильной формы

Площадь квадрата

Из известно, что для вычисления площади квадрата достаточно умножить его сторону саму на себя. Докажем это строго, используя лишь свойства площадей.

Попробуем вычислить площадь квадрата, если известна его сторона. Если она равна 2, то квадрат можно разбить на четыре единичных квадрата, а если она равна 3, то квадрат можно разделить уже на девять единичных квадратов:

Тогда площадь квадрата со стороной 2 равна 4, а со стороной 3 уже равна 9. В общем случае квадрат со стороной n (где n– ) можно разбить n2 единичных квадратов, поэтому его площадь будет равна n2.

Но что делать в случае, если сторона квадрата – это не целое, а дробное число? Пусть оно равно некоторой дроби 1/m, например, 1/2 или 1/3. Тогда поступим наоборот – разделим сам единичный квадрат на несколько частей. Получится почти такая же картина:

В общем случае единичный квадрат можно разбить на m2 квадратов со стороной 1/m. Тогда площадь каждого из таких квадратов (обозначим ее как S)может быть найдена из уравнения:

Снова получили, что площадь квадрата в точности равна его стороне, возведенной во вторую степень.

Наконец, рассмотрим случай, когда сторона квадрата равна произвольной дроби, например, 5/3. Возьмем квадраты со стороной 1/3 и построим из них квадрат, поставив 5 квадратов в ряд. Тогда его сторона как раз будет равна 5/3:

Площадь каждого маленького квадратика будет равна 1/9, а всего таких квадратиков 5х5 = 25. Тогда площадь большого квадрата может быть найдена так:

В общем случае, когда дробь имеет вид n/m, где m и n– натуральные числа, площадь квадрата будет равна величине

Получили, что если сторона квадрата – произвольное рациональное число, то его площадь в точности равна квадрату этой стороны. Конечно, возможна ситуация, когда сторона квадрата – это . Тогда осуществить подобное построение не получится. Здесь помогут значительно более сложные рассуждения, основанные на методе «от противного».

Предположим, что есть некоторое иррациональное число I, такое, что площадь квадрата (S) со стороной I НЕ равна величине I2. Для определенности будем считать, что I2<S (случай, когда I2>S, рассматривается абсолютно аналогично). Однако тогда, извлекая корень из обеих частей неравенства, можно записать, что

Далее построим два квадрата, стороны которых имеют длины I и R, и совместим их друг с другом:

Так как мы выбрали число R так, чтобы оно было больше I, то квадрат со стороной I является лишь частью квадрата со стороной R.Но часть меньше целого, значит, площадь квадрата со стороной I (а она равна S) должна быть меньше, чем площадь квадрата со стороной R (она равна R2):

из которого следует противоположный вывод – величина R2 меньше, чем S. Полученное противоречие показывает, что исходная утверждение, согласно которому площадь квадрата со стороной I НЕ равна I2, является ошибочным. А значит, площадь квадрата всегда равна его стороне, умноженной на саму себя.

Задание. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна

Задание. Площадь квадрата равна 25. Найдите длину его стороны.

Решение. Пусть сторона квадрата обозначается буквой х (как неизвестная величина). Тогда условие, согласно которому его площадь равна 25, можно переписать в виде уравнения:

Его , для его решения надо просто извлечь квадратный корень из правой части:

Примечание. Строго говоря, записанное уравнение имеет ещё один корень – это число (– 5). Однако его можно отбросить, так как длина отрезка не может быть отрицательным числом. В более сложных геометрических задачах отрицательные корни также отбрасывают.

Задание. Численно площадь квадрата равна периметру квадрата (с учетом того, что площадь измеряется в см2, а периметр – в см). Вычислите его площадь.

Решение. Снова обозначим сторону квадрата как х, тогда площадь (S)и периметр (Р) будут вычисляться по формулам:

По условию эти величины численно равны, поэтому должно выполняться равенство, являющееся уравнением:

Естественно, сторона квадрата не может быть равна нулю, поэтому нас устраивает только ответ х = 4. Тогда и площадь, и периметр будут равны 16.

Ответ: 16 см2.

Обратите внимание, что ответ задачи зависит от единицы измерения. Если использовать миллиметры, то сторона квадрата окажется равной 40 мм, периметр будет равен 160 мм, а площадь составит 1600 мм2

Именно поэтому в условии задачи сказано, что площадь и периметр равны численно. «По-настоящему» равными бывают только величины, измеряемые в одинаковых единицах измерения.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться нашим «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

В статье собраны несколько калькуляторов, вычисляющих площади неправильных четырехугольников.

Есть несколько способов найти площадь неправильного четырехугольника.

1. Вы знаете длины диагоналей и размер угла между ними. Тогда площадь четырехугольника можно найти по формуле

Площадь выпуклого четырехугольника

1. Вы знаете длины четырех сторон и размеры двух противолежащих углов. Тогда площадь четырехугольника можно найти по формуле Бретшнайдера.

, где s — полупериметр.

Площадь четырехугольника по четырем сторонам и двум противолежащим углам

1. Вы знаете длины четырех сторон и длины диагоналей. Тогда площадь четырехугольника тоже можно найти по формуле Бретшнайдера.

, где s — полупериметр

Площадь четырехугольника по четырем сторонам и двум диагоналям

1. Вы знаете длины четырех сторон и то, что четырехугольник является вписанным в окружность. Тогда вы имеете дело с частным случаем формулы Бретшнайдера (сумма двух противолежащих углов известна и равна 180), известным как формула Брахмагупты.

, где s — полупериметр

Для вычисления можно использовать калькулятор выше, введя произвольно два угла так, чтобы их сумма составляла 180.

Вывод самих формул Бретшнайдера можно посмотреть здесь.

Ну и напоследок еще раз упомяну, что зная только длины четырех сторон вычислить площадь четырехугольника нельзя, так как нельзя однозначно определить его вид — нужно еще какое-нибудь ограничивающее условие. Так как у нас на сайте довольно часто просили посчитать площадь четырехугольника только по четырем сторонам, то еще есть вот такой вот шуточный калькулятор: Площадь неправильного четырехугольника с заданными сторонами, который бесконечно рассчитывает такие площади.

Как найти площадь неправильной фигуры | Сделай все сам

В школьном курсе геометрии ученики в основном считают площади положительных многоугольников. Между тем, для решения множества фактических задач неоднократно доводится иметь дело с неправильными геометрическими фигурами.

С этой задачей человек сталкивается и при определении размеров дачного участка либо придомовой территории, и при расчете числа ткани для шитья, и еще во многих случаях.

Высчитать площадь неправильной фигуры дозволено несколькими методами.

Вам понадобится

• – неправильная геометрическая фигура;
• – измерительные инструменты;
• – прозрачный пластик;
• – линейка;
• – угольник;
• – шариковая ручка.

Инструкция

1. Разглядите геометрическую фигуру и определите, какие ее параметры вам вестимы. Это могут быть длины сторон либо углы. В зависимости от заданных параметров и выберите метод определения площади. Скажем, поделите ее на несколько фигур, формулы вычисления площади которых вы знаете.

Один из самых распространенных способов — провести диагонали из одного угла ко каждым остальным вершинам. В этом случае вам необходимо знать формулу вычисления площади произвольного треугольника. Но никто не воспрещает поделить заданную фигуру и на другие многоугольники.

Скажем, при расчете площади пола в комнате с нишей комфортнее поделить неправильную фигуру на два прямоугольника либо квадрата.

2. Для определения площади не слишком огромный детали дозволено воспользуйтесь палеткой. Ее дозволено сделать самому. Отрежьте прямоугольный кусок всякого прозрачного пластика.

Поделите его на квадраты, площадь которых вам вестима — скажем, 1х1 либо 0,5х0,5 см. Линейка и угольник обязаны быть точными. Наложите палетку на деталь. Сосчитайте полные квадратики, после этого — неполные.

Роль палетки будет исполнять сетка из квадратов со стороной 1х1 м, начерченная на земле либо подмеченная колышками с протянутыми между ними шнурами. Дозволено ограничиться и разметкой территории на полосы. .

3. С большими площадями дозволено поступить и напротив. Возьмите максимально точный план участка либо придомовой территории. Определите масштаб. Воспользуйтесь одним из предложенных методов. После этого полученное число квадратных сантиметров переведите в надобный масштаб.

Перед тем как начинать ремонт пола в доме, нужно узнать всеобщую площадь , дабы верно рассчитать число материала. Несложная, казалось бы, задача на деле может вызвать много сложностей. Дабы положительно обнаружить площадьпола , вам нужно знать некоторые нюансы измерительной науки.

Вам понадобится

• – рулетка;
• – электронный дальномер;
• – лист бумаги и карандаш;
• – калькулятор.

Формулы для площадей четырехугольников

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
		S = ab	Площадь пятиугольника онлайн калькулятор по сторонам a и b – смежные стороны
		d – диагональ,φ – любой из четырёх углов между
	S = 2R2 sin φ Получается из верхней формулы подстановкой d=2R	R – радиус ,φ – любой из четырёх углов между
		S = a ha	a – сторона,ha – , опущенная на эту сторону
	S = absin φ	a и b – смежные стороны,φ – угол между ними
		d1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
		S = a2	a – сторона квадрата
	S = 4r2	r – радиус
		d – квадрата
	S = 2R2 Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R	R – радиус
		S = a ha	a – сторона,ha – , опущенная на эту сторону
	S = a2 sin φ	a – сторона,φ – любой из четырёх углов ромба
		d1, d2 –
	S = 2ar	a – сторона,r – радиус
		r – радиус ,φ – любой из четырёх углов ромба
			a и b – основания,h –
	S = m h	m – ,h –
		d1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
		a и b – основания,c и d  – боковые стороны
		S = ab sin φ	a и b – неравные стороны,φ – угол между ними
		a и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
	S = (a + b) r	a и b – неравные стороны,r – радиус
		d1, d2 –
Произвольный выпуклый четырёхугольник			d1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
		,	a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – , Формулу называют «Формула Брахмагупты»

	S = ab гдеa и b – смежные стороны
	гдеd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между
	S = 2R2 sin φ гдеR – радиус ,φ – любой из четырёх углов между Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
	S = a ha гдеa – сторона,ha – , опущенная на эту сторону
	S = absin φ гдеa и b – смежные стороны,φ – угол между ними
	гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
	S = a2 гдеa – сторона квадрата
	S = 4r2 гдеr – радиус
	гдеd – квадрата
	S = 2R2 гдеR – радиус Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
	S = a ha гдеa – сторона,ha – , опущенная на эту сторону
	S = a2 sin φ гдеa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромба
	гдеd1, d2 –
	S = 2ar гдеa – сторона,r – радиус
	гдеr – радиус ,φ – любой из четырёх углов ромба
	гдеa и b – основания,h –
	S = m h гдеm – ,h –
	гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
	гдеa и b – основания,c и d  – боковые стороны
	S = ab sin φ гдеa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
	гдеa и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
	S = (a + b) r гдеa и b – неравные стороны,r – радиус
	гдеd1, d2 –
Произвольный выпуклый четырёхугольник
	гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
	, гдеa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – Формулу называют «Формула Брахмагупты»

S = ab гдеa и b – смежные стороны

гдеd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между

S = 2R2 sin φ гдеR – радиус ,φ – любой из четырёх углов между Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

S = a ha гдеa – сторона,ha – , опущенная на эту сторону

S = absin φ гдеa и b – смежные стороны,φ – угол между ними

гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними

S = a2 гдеa – сторона квадрата

S = 4r2 гдеr – радиус

гдеd – квадрата

S = 2R2 гдеR – радиус Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

S = a ha гдеa – сторона,ha – , опущенная на эту сторону

S = a2 sin φ гдеa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромба

гдеd1, d2 –

S = 2ar гдеa – сторона,r – радиус

гдеr – радиус ,φ – любой из четырёх углов ромба

гдеa и b – основания,h –

S = m h гдеm – ,h –

гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними

гдеa и b – основания,c и d  – боковые стороны,

S = ab sin φ гдеa и b – неравные стороны,φ – угол между ними

гдеa и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r гдеa и b – неравные стороны,r – радиус

гдеd1, d2 –

Произвольный выпуклый четырёхугольник

гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними

гдеa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Калькулятор расчета площади земельного участка неправильной формы

Инструкция для калькулятора расчета площади неправильного земельного участка

Данный онлайн калькулятор помогает произвести расчет, определение и вычисление площади земельного участка в онлайн режиме. Представленная программа способна правильно подсказать, как выполнить расчет площади земельных участков неправильной формы.

Указываем все данные в метрах

A B, D A, C D, B C— Размер каждой стороны делянки.

Согласно введен данным, наша программа в онлайн режиме выполнить расчет и определить, площадь земельных угодий в квадратных метрах, сотках, акрах и гектарах.

Методика определения размеров участка ручным методом

Чтобы правильно выполнить расчет площади делянок, не нужно использовать сложные инструменты. Мы берем деревянные колышки или металлические прутья и устанавливаем их в углах нашего участка. Далее при помощи измерительной рулетки определяем ширину и длину делянки. Как правило, достаточно выполнить замер одной ширины и одной длины, для прямоугольных или равносторонних участков. Для примера, у нас получились следующие данные: ширина – 20 метров и длина – 40 метров.

Далее переходим к расчету площади делянки. При правильной форме участка, можно использовать геометрическую формулу определения площади (S) прямоугольника. Согласно этой формуле, нужно выполнить умножение ширины (20) на длину (40) , то есть произведение длин двух сторон. В нашем случае S=800 м².

После того, как мы определили нашу площадь, мы можем определить количество соток на земельном участке. Согласно общепринятым данным, в одной сотке – 100 м². Далее при помощи простой арифметики, мы разделим наш параметр S на 100. Готовый результат и станет равен размеру делянки в сотках. Для нашего примера, этот результат – 8. Таким образом, получаем, что площадь участка составляет восемь соток.

В том случае, когда территория угодий очень большая, то лучше всего выполнять все измерения в других единицах – в гектарах. Согласно общепринятым единицам измерения – 1 Га = 100 соток. К примеру, если наша земельная делянка согласно полученным измерениям составляем 10 000 м², то в этом случае его площадь равна 1 гектару или 100 соткам.

Если Ваш участок неправильной формы, то в этом случае количество соток напрямую зависит от площади. Именно по этой причине при помощи онлайн калькулятора Вы сможете правильно рассчитать параметр S делянки, и после этого разделив полученный результат на 100. Таким образом, Вы получите расчеты в сотках. Такой метод предоставляет возможность измерять делянки сложных форм, что весьма удобно.

Общие данные

Расчет площади земельных участков базируется на классических расчетах, которые выполняются согласно общепринятым геодезическим формулам.

Всего доступно несколько методов для расчета площади земельных угодий – механический (рассчитывается по плану при помощи мерных палеток), графический (определяется по проекту) и аналитический (при помощи формулы площади по измеренным линиям границ).

На сегодняшний день самым точным способом заслуженно считается – аналитический. Используя данный метод, ошибки при расчетах, как правило, появляются из-за погрешностей на местности измеренных линий. Данный способ является также и достаточно сложным, если границы криволинейные или количество углом на делянке больше десяти.

Немного проще по расчетам является графическим способ. Его лучше всего использовать в том случае, когда границы участка представлены в виде ломанной линии, с небольшим количеством поворотов.

И самый доступный и простой способ, и наиболее популярный, но и в тоже время самой большой погрешностью – механический способ. Используя данный метод, Вы сможете легко и быстро выполнить расчет площади земельных угодий простой или сложной формы.

Среди серьезных недостатков механического или графического способа, выделяют следующее, кроме погрешностей при измерении участка, при расчетах добавляется погрешность из-за деформации бумаги или погрешность при составлении планов.

Источник

Вычислить, найти площадь геометрических фигур

Онлайн Расчеты и формулы площади для плоских фигур
Площадь треугольника калькулятор нахождения площади треугольников	Площадь прямоугольного треугольника онлайн формула площади прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника найти площади равнобедренных треугольников	Площадь равностороннего треугольника вычислить площадь равностороннего треугольника
Площадь треугольника по формуле Герона площадь Герона, формула	Площадь квадрата чему равна площадь квадрата
Площадь прямоугольника как найти чему равна площадь прямоугольника	Площадь круга онлайн калькулятор площади круга через радиуса
Площадь ромба как найти площадь ромба через диагонали и т.д.	Площадь параллелограмма онлайн калькулятор для нахождения площади параллелограмма
Площадь трапеции площадь прямоугольной и равнобедренной трапеции	Площадь эллипса формула площади эллипса онлайн
Площадь кольца как вычислить площадь кольца онлайн	Площадь четырехугольника чему равна площадь четырехугольника, формула
Площадь сектора кольца подсчитать площади сектора кольца	Площадь сектора круга получить площадь сектора круга
Площадь сегмента круга решить площадь сегмента круга
Онлайн Расчеты и формулы площади для объемных фигур
Площадь шара калькулятор нахождения площадь поверхности сферы или шара	Площадь куба как найти чему равна площадь поверхности куба
Площадь цилиндра калькулятор для нахождения площади поверхности и основания цилиндра	Площадь пирамиды формулы расчета площади боковой поверхности и основания пирамиды
Площадь параллелепипеда калькулятор площади параллелепипеда прямоугольного и др.	Площадь конуса нахождение площади поверхностей конуса
Площадь усеченного конуса калькулятор нахождения площади поверхности усеченного конуса	Площадь тетраэдра площадь поверхности и грани тетраэдра
Площадь призмы калькулятор нахождения площади поверхности и боковой площади призмы

Площадь фигуры сложной формы может составляться из различных элементарных фигур: треугольников, квадратов, прямоугольников и пр. Общая площадь будет высчитываться путем суммирования площадей составляющих компонент.

Набор онлайн-калькуляторов страницы дает возможность оперативного вычисления не только S плоских фигур (квадрата, прямоугольника, круга, ромба, эллипса), но и площадей объемных фигур (куба, призмы, конуса, цилиндра, сферы, тетраэдра и пр.), являющихся совокупностью нескольких плоскостей.

Вычисление площадей фигур востребовано для решения различных задач: — строительных; — кадастровых; — инженерных и пр.

Государство осуществляет кадастровый учет земельных участков, основным учитываемым параметром которых является площадь. Специалистами БТИ фиксируется общая и полезная жилая площадь квартир. В быту иногда нужно вычислять площадь ковра, натяжного потолка, площадь дачного участка и пр.

Источник

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где  d₁ и d₂ – , а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь можно найти по формуле

S = a h_a ,

где a – сторона параллелограмма, а h_a – , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

S_ABCD = S_AEFD = a h_a ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

h_a = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a h_a = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь можно найти по формуле

,

где r – радиус , а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из ромба является биссектрисой угла, а . Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h  –  (рис.5).

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку , то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь можно найти по формуле

,

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции, (рис.6).

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись , составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

      Следовательно,

где

,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь , , можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус (рис.7).

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.