Площадь пятиугольника онлайн калькулятор по сторонам

Гауссовские детерминанты

Другой способ найти площадь неправильного пятиугольника или другого неправильного многоугольника — это поместить фигуру в декартову систему координат, чтобы найти координаты вершин.

Зная эти координаты, применяется гауссовский метод определителей для вычисления площади, которая определяется следующей формулой:

Где A — площадь многоугольника, а (x_п , Y_п ) — координаты вершин. Многоугольник с n сторонами имеет 5 вершин, для пятиугольника это будет n = 5:

Полосы, сопровождающие формулу, представляют собой столбцы модуля или абсолютного значения.

Это означает, что даже если результат операции отрицательный, мы должны выразить его положительным знаком, а если он уже положительный, то его нужно оставить с этим знаком. Это потому, что площадь всегда является положительной величиной.

Процедура названа гауссовскими детерминантами в честь ее создателя, немецкого математика Карла Ф. Гаусса (1777-1855). Указанные операции эквивалентны определителю матрицы 2 × 2, например, первый определитель равен:

Чтобы найти площадь пятиугольника, мы должны решить 5 определителей, сложить результат алгебраически, разделить его на 2 и, наконец, выразить площадь всегда с положительным знаком.

Площадь через квадрат[править | править код]

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить как площадь усечённого квадрата.

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

S=A2−a2,{\displaystyle S=A^{2}-a^{2},}

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414213562373095a.{\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414213562373095a.}

Тогда площадь равна:

S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.82842712474619a2.{\displaystyle S=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.82842712474619a^{2}.}

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

S=2(2−1)A2≈0.8284271247461903A2.{\displaystyle S=2({\sqrt {2}}-1)A^{2}\approx 0.8284271247461903A^{2}.}

Ещё одна простая формула площади:

 S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

a≈A2.414213562373095.{\displaystyle a\approx A/2.414213562373095.}

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

e=(A−a)2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}

Инструкция

Внимательно прочитайте условие поставленной задачи. Руководствуясь им, нарисуйте на листе бумаги предполагаемый пятиугольник.

Обозначьте длину каждой из его сторон.

Проведите в пятиугольнике две диагонали. Обозначьте длину каждой диагонали.

Обратите внимание на то, что получилось в результате проведения диагоналей, и вы увидите, что они разбивают пятиугольник на три различных между собой треугольника. Из вершины каждого треугольника проведите высоту к его основанию

Из вершины каждого треугольника проведите высоту к его основанию.

Измерьте длину высоты опущенной на основание для каждого треугольника.

Определите всех трех треугольников по формуле, приведенной ниже:S = 1/2 x H x a,где S – вычисляемая площадь
треугольника;H – высота каждого треугольника;a – длина основания треугольника.

Вычислите площадь
пятиугольника
, сложив площади этих трех треугольников.

Обратите внимание

Помните, что правильным считается тот пятиугольник, у которого и все стороны, и все углы равны между собой. Если хотя бы одна сторона или угол отличается от других, то пятиугольник не считается правильным, и его площадь нельзя рассчитывать по упрощенной схеме.

Полезный совет

Проще всего определить площадь правильного пятиугольника. Для этого достаточно просто вычислить площадь одного из треугольников, а затем умножить ее на их количество. Ведь диагонали в правильном пятиугольнике разбивают его на треугольники одинаковой площади. Значительно упрощается задача и в том случае, если два угла пятиугольника являются прямыми. Достаточно провести одну диагональ, которая разобьет пятиугольник на треугольник и прямоугольник, площади которых можно найти совсем просто. Сумма вычисленных площадей будет равна площади самого пятиугольника.

Многоугольник или полигон — геометрическая фигура, которая имеет n-ное количество углов. В общем случае многоугольник — это часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломанной.

Геометрия многоугольников

В целом такая геометрическая фигура может иметь абсолютно любой вид. К примеру, символы звезды и компаса, полигон для моделирования или грань шестеренки — многоугольники. Многоугольные фигуры разделяются на две группы:

• невыпуклые, которые имеют любую причудливую форму с возможными самопересечениями (самый очевидный пример — звезда);
• выпуклые, все точки которых находятся по одну сторону от прямой, проведенной через две соседние вершины (квадрат, треугольник).

Выпуклый полигон, у которого все углы равны и все стороны равны, считается правильным и имеет собственное название. К примеру, правильный пятиугольник называется пентагон, шести — гексагон, восьмиугольник — октагон, десятиугольник — декагон, одиннадцатиугольник — гендекагон, двенадцати — додекагон. Любой правильный многоугольник имеет свою вписанную и описанную окружность. При этом круг также можно представить как правильный полигон, который имеет бесконечное количество углов.

Как найти площадь пятиугольника | Сделай все сам

Это достаточно простая задача школьного курса. Для ее решения довольно знать несколько простейших математических формул, которые являются основополагающими в геометрии. Также потребуется знание логически думать и считать на калькуляторе.

Вам понадобится

• – минимальные данные, нужные для решения задачи, а именно длина всякой стороны и диагонали пятиугольника;
• – калькулятор;
• – ручка;
• – лист бумаги.

Инструкция

1. Наблюдательно прочитайте условие поставленной задачи. Руководствуясь им, нарисуйте на листе бумаги полагаемый пятиугольник.

2. Обозначьте длину всей из его сторон.

3. Проведите в пятиугольнике две диагонали. Обозначьте длину всякой диагонали.

4

Обратите внимание на то, что получилось в итоге проведения диагоналей, и вы увидите, что они разбивают пятиугольник на три разных между собой треугольника

5. Из вершины всего треугольника проведите высоту к его основанию.

6. Измерьте длину высоты опущенной на основание для всего треугольника.

7. Определите площади всех 3 треугольников по формуле, приведенной ниже:S = ? ? H ? a,где S – вычисляемая площадь треугольника;H – высота всего треугольника;a – длина основания треугольника.

8. Вычислите площадьпятиугольника , сложив площади этих 3 треугольников.

Когда речь заходит о вычислении площади, то почаще каждого имеется в виду не поверхность какой-нибудь трудной пространственной конфигурации, а участок ограниченной периметром двухмерной плоскости.

Если такая поверхность имеет правда бы примерно положительную форму, то для расчетов с заданной степенью точности дозволено задействовать знаменитые формулы вычисления площади соответствующих геометрических фигур.

Применение восьмиугольников[править | править код]

Дорожный знак «Движение без остановки запрещено»

Восьмиугольный план Купола Скалы

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Совет по решению задачи, для которой многоугольник изображен на бумаге в клетку

Чаще всего озадачивает то, что в данных имеется только размер клеточки. Но оказывается, что больше сведений не нужно. Рекомендацией к решению такой задачи является разбивание фигуры на множество треугольников и прямоугольников. Их площади довольно просто сосчитать по длинам сторон, которые потом легко сложить.

Но часто есть более простой подход. Он заключается в том, чтобы дорисовать фигуру до прямоугольника и вычислить значение его площади. Потом сосчитать площади тех элементов, которые оказались лишними. Вычесть их из общего значения. Этот вариант порой предполагает несколько меньшее число действий.

Немного теории о многоугольниках

Если провести три или более пересекающихся прямых, то они образуют некоторую фигуру. Именно она является многоугольником. По количеству точек пересечения становится ясно, сколько вершин у него будет. Они дают название получившейся фигуре. Это может быть:

• треугольник;
• четырехугольник;
• пяти- или шестиугольник и так далее.

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

1. Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
2. У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:

Восьмиугольник – это многоугольник с восемью углами.

Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.

Восьмиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый восьмиугольник

Рис. 2. Невыпуклый восьмиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°.

Пример задачи

Условие. Координаты вершин заданы такими значениями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Требуется вычислить площадь многоугольника.

Решение. По формуле, указанной выше, первое слагаемое будет равно (1.8 + 0.6)/2 * (3.6 — 2.1). Здесь нужно просто взять значения для игрека и икса от второй и первой точек. Несложный расчет приведет к результату 1.8.

Второе слагаемое аналогично получается: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 — 3.6) = -2.6. При решении подобных задач не стоит пугаться отрицательных величин. Все идет так, как нужно. Это планомерно.

Подобным образом получаются значения для третьего (0.29), четвертого (-6.365) и пятого слагаемых (2.96). Тогда итоговая площадь равна: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = — 3.915.

Примеры из жизни

Пчелиные соты

Пчелиные соты — уникальный природный объект, который состоит из множества гексагональных призматических ячеек. Давайте подсчитаем, сколько таких шестиугольников находится в одних сотах. Для этого нам нужно узнать общую площадь и площадь одной ячейки. Из Википедии мы знаем, что стандартная рамка для сот имеет размеры 435 х 300 мм, соответственно, общая площадь составляет 130 500 квадратных миллиметров. Там же указано, что горизонтальный диаметр одной ячейки составляет примерно 5,5 мм. Горизонтальный диаметр полигона — это диаметр вписанной в него окружности, следовательно, мы знаем параметр r = 2,75 мм. Таким образом, при n = 6 площадь одной ячейки составляет:

Теперь мы можем узнать общее количество ячеек в одних сотах, которое выражается как 130500/26,19 = 4982

Снежинка

Снежинки имеют форму правильного треугольника или шестиугольника благодаря тому факту, что вода состоит из трех атомов и при переходе из одного агрегатного состояния в другое, молекулы воды соединяются с другими частицами и образуют треугольник или гексагон. Равносторонний треугольник — это такой же правильный полигон, как и другие, ведь он имеет три равных стороны и три равных угла. Соответственно, мы можем определить площадь такой снежинки, зная только длину стороны. Пусть сторона снежинки равна 8 условным единицам. Тогда для определения площади нам потребуется указать n = 3 и a = 8. Мы получим результат в виде:

Кроме площади абстрактной снежинки, наш калькулятор посчитал также радиусы вписанной и описанной окружности.

Симметрия[править | править код]

11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih₈ порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih₄, Dih₂ и Dih₁, а также 4 циклические подгруппы — Z₈, Z₄, Z₂ и Z₁. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 . Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

Заключение

Правильный полигон — это не только экзотический додекагон, но и квадрат или равносторонний треугольник, а значит, такую фигуру вы обязательно встретите не только в школьных задачах, но и в быту, на работе и в реальной повседневности. Используйте наш калькулятор для определения площадей любых правильных многоугольников.

Вычисление площади многоугольникаГородская научно-практическая конференция юных исследователей
«Будущее Петрозаводска»
Вычисление площади
многоугольника
Качановская Алина Игоревна
9Б класс, г. Петрозаводск.
учитель математики
МОУ «Гимназия №30 имени Музалева Д.Н.»